< Return to Video

Partial fraction decomposition to find sum of telescoping series

  • 0:00 - 0:01
  • 0:01 - 0:02
    สิ่งที่เราจะพยายามทำ
  • 0:02 - 0:06
    คือหาค่าผลบวกนี่ตรงนี้
  • 0:06 - 0:08
    หาค่าอนุกรมนี้ คือลบ 2
  • 0:08 - 0:12
    ส่วน n บวก 1 คูณ n บวก 2 เริ่มที่ n เท่ากับ 2
  • 0:12 - 0:14
    ไปจนถึงอนันต์
  • 0:14 - 0:17
    และถ้าเราอยากหาว่ามันเป็นอย่างไร มันเริ่มที่ n
  • 0:17 - 0:17
    เท่ากับ 2
  • 0:17 - 0:20
    เมื่อ n เท่ากับ 2 นี่คือลบ 2 ส่วน 2
  • 0:20 - 0:24
    บวก 1 ซึ่งก็คือ 3 คูณ 2 บวก 2 ซึ่งก็คือ 4
  • 0:24 - 0:29
    แล้วเมื่อ n เท่ากับ 3 นี่คือลบ 2 ส่วน 3
  • 0:29 - 0:33
    บวก 1 ซึ่งก็คือ 4, คูณ 3 บวก 2 ซึ่งก็คือ 5
  • 0:33 - 0:35
    และมันยาวต่อไปแบบนั้น ลบ 2
  • 0:35 - 0:38
    ส่วน 5 คูณ 6
  • 0:38 - 0:41
    และมันยาวต่อไปเรื่อยๆ
  • 0:41 - 0:44
    ตอนนี้ เห็นได้ชัดว่าเทอมถัดไปแต่ละเทอม
  • 0:44 - 0:46
    จะเล็กลงเรื่อยๆ
  • 0:46 - 0:48
    และมันจะเล็กลงเร็วทีเดียว
  • 0:48 - 0:52
    มันพอจะสมมุติได้ว่า ถึงแม้คุณจะ
  • 0:52 - 0:53
    มีจำนวนเทอมเป็นอนันต์
  • 0:53 - 0:55
    มันอาจให้ค่าจำกัดได้
  • 0:55 - 0:57
    แต่ผมไม่เห็นได้ในทันที อย่างน้อยตาม
  • 0:57 - 0:58
    ที่ผมเห็นอยู่ตอนนี้
  • 0:58 - 1:00
    ว่าผลบวกนี้จะเป็นเท่าใด หรือเรา
  • 1:00 - 1:02
    จะหาผลบวกนั้นอย่างไร
  • 1:02 - 1:04
    สิ่งที่ผมอยากให้คุณทำตอนนี้ คือหยุดวิดีโอนี้
  • 1:04 - 1:08
    และผมจะให้คำใบ้ว่าเราคิดปัญหานี้อย่างไร
  • 1:08 - 1:12
    พยายามนึกเรื่องการกระจายเศษส่วนย่อย
  • 1:12 - 1:14
    หรือการกระจายเศษส่วนย่อย
  • 1:14 - 1:18
    เพื่อเปลี่ยนพจน์นี้เป็น
    ผลบวกของเศษส่วนสองตัว
  • 1:18 - 1:22
    และมันอาจช่วยเราคิดว่าผลบวกเป็นเท่าใด
  • 1:22 - 1:24
    ผมถือว่าคุณได้ลองแล้วนะ
  • 1:24 - 1:26
    ลองพยายามจัดการเทอมนี้
  • 1:26 - 1:29
    ลองดูว่าเราเขียนอันนี้ใหม่
    เป็นผลบวกของเศษส่วนสองตัวได้ไหม
  • 1:29 - 1:33
    นี่คือลบ 2 ส่วน -- ผมจะ
  • 1:33 - 1:36
    ใช้สองสีต่างกันนะ -- n บวก 1
  • 1:36 - 1:38
    คูณ n บวก 2
  • 1:38 - 1:40
  • 1:40 - 1:43
    และเราจำได้จากการกระจายเศษส่วนย่อย
  • 1:43 - 1:46
    ว่าเราเขียนอันนี้ได้เป็น
    ผลบวกของเศษส่วนสองตัว
  • 1:46 - 1:55
    เป็น A ส่วน n บวก 1 บวก B ส่วน n บวก 2
  • 1:55 - 1:56
    และทำไมมันถึงสมเหตุสมผล?
  • 1:56 - 1:57
    ถ้าคุณบวกเศษส่วนสองตัว
  • 1:57 - 1:59
    คุณอยากหาตัวส่วนร่วม ซึ่ง
  • 1:59 - 2:01
    ก็คือพหุคูณของตัวส่วนสองตัว
  • 2:01 - 2:03
    อันนี้เป็นพหุคูณของตัวส่วนทั้งคู่แน่นอน
  • 2:03 - 2:06
    และเราเรียนในเรื่องการกระจายเศษส่วนย่อย
  • 2:06 - 2:09
    ว่า อะไรก็ตามที่เรามีบนนี้ ยิ่งดีกรี
  • 2:09 - 2:13
    ตรงนี้น้อยกว่าดีกรีข้างล่างนี้ ตัวข้างบน
  • 2:13 - 2:16
    จะมีดีกรีน้อยกว่าที่เรามีตรงนี้
  • 2:16 - 2:18
    นี่ก็คือเทอมดีกรีหนึ่งในรูปของ n
  • 2:18 - 2:21
    พวกนี้จึงเป็นค่าคงที่บนนี้
  • 2:21 - 2:23
    ลองหากันว่า A กับ B คืออะไร
  • 2:23 - 2:26
    ถ้าเราทำการบวก --
  • 2:26 - 2:28
    ลองเขียนทั้งคู่ใหม่
  • 2:28 - 2:29
    ด้วยตัวส่วนร่วมเดียวกัน
  • 2:29 - 2:34
    ลองเขียน A ส่วน n บวก 1 ใหม่
  • 2:34 - 2:38
    ลองคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย n บวก 2
  • 2:38 - 2:42
    เราคูณตัวเศษด้วย n บวก 2 และตัวส่วน
  • 2:42 - 2:42
    ด้วย n บวก 2
  • 2:42 - 2:44
    ผมไม่ได้เปลี่ยนค่าเศษส่วนแรกนี้
  • 2:44 - 2:51
    เช่นเดียวกัน ลองทำแบบเดียวกัน
    กับ B ส่วน n บวก 2
  • 2:51 - 2:54
    คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย n บวก 1
  • 2:54 - 2:58
    n บวก 1 ส่วน n บวก 1
  • 2:58 - 3:01
    เหมือนเดิม ผมไม่ได้เปลี่ยนค่าเศษส่วนนี้
  • 3:01 - 3:03
    แต่เมื่อทำอย่างนี้ ผมจะได้ตัวส่วนร่วม
  • 3:03 - 3:05
    และผมบวกได้
  • 3:05 - 3:13
    นี่จึงเท่ากับ n บวก 1 คูณ n บวก 2
  • 3:13 - 3:13
    เป็นตัวส่วนของเรา
  • 3:13 - 3:16
  • 3:16 - 3:20
    แล้วตัวเศษ -- ขอผมแจกแจงมันออกมา
  • 3:20 - 3:22
    อันนี้จะเท่ากับ ถ้าผมแจกแจง A
  • 3:22 - 3:25
    มันคือ An บวก 2A
  • 3:25 - 3:32
    ขอผมเขียนนะ An บวก 2A
  • 3:32 - 3:41
    แล้วกระจาย B นี้ บวก Bn บวก B
  • 3:41 - 3:43
    ทีนี้ สิ่งที่ผมอยากทำ คือผมอยากเขียนตัวนี้ใหม่
  • 3:43 - 3:44
    เราจะได้มีเทอม n ทั้งหมด
  • 3:44 - 3:51
    ตัวอย่างเช่น An บวก Bn --
    ผมแยก n ออกมาได้
  • 3:51 - 3:59
    และผมเขียนมันใหม่ได้เป็น A บวก B คูณ n
  • 3:59 - 4:00
    สองเทอมนั่นตรงนั้น
  • 4:00 - 4:04
    แล้วสองเทอมนี้ 2A บวก B
  • 4:04 - 4:09
    ผมเขียนมันได้แบบนี้ บวก 2A บวก B
  • 4:09 - 4:18
    แน่นอน ทั้งหมดนี้คือส่วน
    n บวก 1 คูณ n บวก 2
  • 4:18 - 4:21
  • 4:21 - 4:24
    เราจะแก้หา A กับ B ได้อย่างไร?
  • 4:24 - 4:27
    ข้อสังเกตคือว่า ตัวนี้
  • 4:27 - 4:29
    ต้องเท่ากับลบ 2
  • 4:29 - 4:32
    สองตัวนี้ต้องเท่ากัน
  • 4:32 - 4:34
    นึกดู เรากำลังอ้างว่าตัวนี้
  • 4:34 - 4:36
    ซึ่งเท่ากับตัวนี้ เท่ากับค่านี้
  • 4:36 - 4:39
    นั่นคือสาเหตุที่เราเริ่มทำอย่างนี้
  • 4:39 - 4:40
    เรากำลังอ้างว่า สองตัวนี้
  • 4:40 - 4:43
    เทียบเท่ากัน
  • 4:43 - 4:44
    เรากำลังอ้างอยู่
  • 4:44 - 4:48
    ทุกอย่างในตัวเศษต้องเท่ากับลบ 2
  • 4:48 - 4:49
    แล้วเราทำอะไรได้?
  • 4:49 - 4:52
    ดูเหมือนว่าเรามีตัวแปรไม่ทราบค่าสองตัวตรงนี้
  • 4:52 - 4:55
    เวลาหาตัวไม่ทราบค่าสองตัว
    เราต้องการสองสมการ
  • 4:55 - 4:57
    ข้อสังเกตตรงนี้คือว่า ดูสิ
  • 4:57 - 5:00
    เรามีเทอม n ทางซ้ายมือตรงนี้
  • 5:00 - 5:02
    เราไม่มีเทอม n ตรงนี้
  • 5:02 - 5:04
    คุณก็มองอันนี้ แทนที่จะมอง
  • 5:04 - 5:05
    เป็นลบ 2 คุณก็มอง
  • 5:05 - 5:11
    ตัวนี้เป็นลบ 2 บวก 0n, บวก 0 คูณ n
  • 5:11 - 5:12
    มันไม่ใช่คำว่า on นะ
  • 5:12 - 5:18
    นั่นคือ 0 -- ขอผมเขียนแบบนี้ -- 0 คูณ n
  • 5:18 - 5:19
    เมื่อคุณมองแบบนี้ มัน
  • 5:19 - 5:22
    เห็นได้ชัดว่า A บวก B เป็นสัมประสิทธิ์ของ n
  • 5:22 - 5:25
    มันต้องเท่ากับ 0
  • 5:25 - 5:28
    A บวก B ต้องเท่ากับ 0
  • 5:28 - 5:31
    และนี่คือเป็นการกระจายเศษส่วนย่อย
  • 5:31 - 5:32
    ที่จำเป็น
  • 5:32 - 5:35
    เรามีวิดีโออีกถ้าคุณอยากทบทวนเรื่องนั้น
  • 5:35 - 5:43
    และส่วนค่าคงที่ 2A บวก B เท่ากับลบ 2
  • 5:43 - 5:46
  • 5:46 - 5:51
    แล้วตอนนี้เรามีสองสมการ สองตัวแปร
  • 5:51 - 5:53
    และเราแก้มันได้หลายวิธี
  • 5:53 - 5:55
    แต่วิธีที่น่าสนใจอันหนึ่งคือว่า
    ลองคูณสมการบน
  • 5:55 - 5:57
    ด้วยลบ 1 กัน
  • 5:57 - 6:01
    แล้วอันนี้กลายเป็นลบ A ลบ B เท่ากับ --
  • 6:01 - 6:03
    ลบ 1 คูณ 0 จะยังเป็น 0
  • 6:03 - 6:06
    ตอนนี้เราบวกสองตัวนี้เข้าด้วยกันได้
  • 6:06 - 6:11
    แล้วเราเหลือ 2A ลบ A ได้ A, บวก B ลบ B --
  • 6:11 - 6:14
    พวกมันตัดกัน
  • 6:14 - 6:16
    A เท่ากับลบ 2
  • 6:16 - 6:20
    และถ้า A เท่ากับลบ 2, A บวก B เท่ากับ 0
  • 6:20 - 6:22
    B ต้องเท่ากับ 2
  • 6:22 - 6:24
  • 6:24 - 6:28
    ลบ 2 บวก 2 เท่ากับ 0
  • 6:28 - 6:31
    เราแก้หา A ได้ แล้วผมแทนมันกลับไปตรงนี้
  • 6:31 - 6:35
    ตอนนี้เราเขียนทั้งหมดนี้ใหม่ตรงนี้ได้
  • 6:35 - 6:38
    เราเขียนมันใหม่ได้เป็นผลบวก -- ที่จริง
  • 6:38 - 6:39
    ขอผมแก้สักหน่อย
  • 6:39 - 6:43
    ขอผมเขียนมันเป็นผลบวกจำกัด แทนที่จะเป็น
  • 6:43 - 6:44
    ผลบวกอนันต์
  • 6:44 - 6:47
    แล้วเราค่อยหาลิมิตเมื่อเราไปหาอนันต์
  • 6:47 - 6:49
    ขอผมเขียนมันใหม่แบบนี้
  • 6:49 - 6:54
    นี่คือผลบวกจาก n เท่ากับ 2 --
    แทนที่จะเป็นอนันต์
  • 6:54 - 6:57
    ผมจะบอกว่า N ใหญ่ แล้วต่อไป เรา
  • 6:57 - 7:01
    จะหาลิมิตเมื่อค่านี้ไปหาอนันต์ --
  • 7:01 - 7:04
    แทนที่จะเขียนอย่างนี้ ผมก็เขียนตัวนี้ได้
  • 7:04 - 7:06
    A คือลบ 2
  • 7:06 - 7:11
    มันคือลบ 2 ส่วน n บวก 1
  • 7:11 - 7:18
    แล้ว B คือ 2, บวก B ส่วน n บวก 2
  • 7:18 - 7:21
    ย้ำอีกครั้ง ผมเขียนพจน์นี้เป็นผลบวกจำกัด
  • 7:21 - 7:23
    ต่อไป เราจะหาลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าหา
  • 7:23 - 7:25
    อนันต์ เพื่อหาว่าตัวนี้เป็นเท่าใด
  • 7:25 - 7:28
    โทษที และ B -- ผมไม่เขียน B แล้ว
  • 7:28 - 7:33
    เรารู้ว่า B คือ 2 ส่วน n บวก 2
  • 7:33 - 7:38
    ทีนี้ มันช่วยเราได้อย่างไร?
  • 7:38 - 7:39
    ลองทำสิ่งที่เราทำบนนี้
  • 7:39 - 7:42
    ลองเขียนออกมาว่าตัวนี้เท่ากับอะไร
  • 7:42 - 7:47
    อันนี้จะเท่ากับ -- เมื่อ n เป็น 2
  • 7:47 - 7:54
    นี่คือลบ 2/3 มันก็คือลบ 2/3, บวก 2/4
  • 7:54 - 8:00
  • 8:00 - 8:03
    นั่นคือ n เท่ากับ -- ขอผมทำข้างล่างนี้ เพราะผม
  • 8:03 - 8:04
    ไม่มีที่แล้ว
  • 8:04 - 8:07
    นั่นคือเมื่อ n เท่ากับ 2
  • 8:07 - 8:10
    ทีนี้ เมื่อ n เท่ากับ 3 ล่ะ?
  • 8:10 - 8:22
    เมื่อ n เท่ากับ 3 อันนี้จะเท่ากับลบ 2/4
  • 8:22 - 8:23
    บวก 2/5
  • 8:23 - 8:29
  • 8:29 - 8:31
    แล้วเมื่อ n เท่ากับ 4 ล่ะ?
  • 8:31 - 8:34
    ผมว่าคุณคงเห็นรูปแบบสิ่งที่เกิดขึ้นแล้ว
  • 8:34 - 8:35
    ลองทำอีกตัวกัน
  • 8:35 - 8:42
    เมื่อ n เท่ากับ 4 ตัวนี้
  • 8:42 - 8:47
    จะเท่ากับลบ 2/5 -- ขอ
  • 8:47 - 8:53
    ผมใช้สีฟ้าเดิมนะ -- ลบ 2/5 บวก 2/6
  • 8:53 - 8:58
  • 8:58 - 9:00
    และเราจะทำต่อไป
  • 9:00 - 9:03
    ขอผมเลื่อนลงหาที่เพิ่ม -- เรา
  • 9:03 - 9:05
    จะทำต่อไปจนถึงเทอมที่ N
  • 9:05 - 9:09
  • 9:09 - 9:14
    บวก จุดจุดจุดเทอม N ใหญ่
  • 9:14 - 9:24
    ซึ่งจะเป็นลบ 2 ส่วน N ใหญ่บวก 1, บวก 2
  • 9:24 - 9:28
    ส่วน N ใหญ่บวก 2
  • 9:28 - 9:29
    ผมว่าคุณคิดเห็นรูปแบบตรงนี้แล้ว
  • 9:29 - 9:33
    สังเกตว่า จากตอนแรกเมื่อ n เท่ากับ 2
    เราได้ 2/4
  • 9:33 - 9:36
    แต่แล้วเมื่อ n เท่ากับ 3 คุณจะได้ลบ 2/4
  • 9:36 - 9:37
    อันนั้นตัดกับอันนั้น
  • 9:37 - 9:39
    เมื่อ n เท่ากับ 3 คุณจะได้ 2/5
  • 9:39 - 9:43
    แล้วพวกมันหักล้างกันเมื่อ n เท่ากับ 4 กับลบ 2/5
  • 9:43 - 9:47
    เทอมที่สองหักล้าง -- ส่วนที่สอง
  • 9:47 - 9:50
    สำหรับ n แต่ละตัว สำหรับแต่ละเทอม
  • 9:50 - 9:53
    จะตัดกับส่วนแรกของเลขเทอมต่อไป
  • 9:53 - 9:55
    และมันจะเกิดขึ้นไปเรื่อยๆ จนถึง
  • 9:55 - 10:00
    n เท่ากับ N ใหญ่
  • 10:00 - 10:02
    แล้วอันนี้จะตัดกับตัวก่อน
  • 10:02 - 10:03
    หน้ามัน
  • 10:03 - 10:07
    แล้วเราจะเหลือ
  • 10:07 - 10:14
    แค่เทอมนี้กับเทอมนี่ตรงนี้
  • 10:14 - 10:16
    ลองเขียนมันใหม่นะ
  • 10:16 - 10:19
    เราได้ -- ลองหาที่เพิ่มตรงนี้
  • 10:19 - 10:26
    สิ่งนี้เขียนใหม่ได้เป็นผลบวกจาก n เล็ก
  • 10:26 - 10:31
    เท่ากับ 2 ถึง N ใหญ่ของลบ 2
  • 10:31 - 10:37
    ส่วน n บวก 1 บวก 2 ส่วน n บวก 2
  • 10:37 - 10:39
    เท่ากับ -- อย่างอื่นตรงกลางหักล้างหมด
  • 10:39 - 10:40
  • 10:40 - 10:44
    เราเหลือแค่ลบ 2/3
  • 10:44 - 10:50
    บวก 2 ส่วน N ใหญ่บวก 2
  • 10:50 - 10:53
    นี่คือการลดรูปอย่างใหญ่หลวง
  • 10:53 - 10:57
    นึกดู ผลบวกเดิมที่เราอยากคำนวณ
  • 10:57 - 11:01
    ก็แค่ลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าหาอนันต์
  • 11:01 - 11:05
    ลองหาลิมิตเมื่อ N ใหญ่ไปหาอนันต์
  • 11:05 - 11:06
    ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ
  • 11:06 - 11:08
    ที่จริง ขอผมเขียนมันแบบนี้นะ
  • 11:08 - 11:11
    ลิมิต -- เราเขียนมันแบบนี้ได้
  • 11:11 - 11:15
    ลิมิตเมื่อ N ใหญ่เข้าใกล้
  • 11:15 - 11:20
    อนันต์จะเท่ากับลิมิตเมื่อ N ใหญ่
  • 11:20 - 11:22
    เข้าหาอนันต์ของ -- เราแค่
  • 11:22 - 11:23
    หาว่าตัวนี้คืออะไร
  • 11:23 - 11:33
    นี่คือลบ 2/3 บวก 2 ส่วน N ใหญ่บวก 2
  • 11:33 - 11:36
    เมื่อ n เข้าหาอนันต์ ลบ 2/3 นี้
  • 11:36 - 11:38
    มันไม่มีผลเลย
  • 11:38 - 11:40
    เทอมนี่ตรงนี้ 2 ส่วนเทอมที่ใหญ่ขึ้น
  • 11:40 - 11:42
    ส่วนจำนวนที่โตมาก --
  • 11:42 - 11:44
    มันจะเข้าหา 0
  • 11:44 - 11:48
    และเราจะเหลือลบ 2/3
  • 11:48 - 11:49
    เราก็เสร็จแล้ว
  • 11:49 - 11:55
    เราหาผลบวกของอนุกรมอนันต์นี้ได้แล้ว
  • 11:55 - 11:58
    ตัวนี้ตรงนี้จะเท่ากับลบ 2/3
  • 11:58 - 12:01
    และอนุกรมแบบนี้เรียกว่า telescoping series
  • 12:01 - 12:03
    telescoping
  • 12:03 - 12:04
    นี่คือ telescoping series
  • 12:04 - 12:09
  • 12:09 - 12:12
    telescoping series เป็นคำทั่วไป
  • 12:12 - 12:14
    ถ้าคุณหาผลบวกย่อย
  • 12:14 - 12:18
    มันจะมีรูปแบบอย่างนี้ โดยแต่ละเทอม
  • 12:18 - 12:20
    คุณหักล้างมันไปได้
  • 12:20 - 12:23
    สิ่งที่คุณเหลือตอนจบมีแค่เทอม
  • 12:23 - 12:26
    ไม่กี่เทอม
  • 12:26 - 12:27
    แต่เอาล่ะ อันนี้มัน --
  • 12:27 - 12:29
    มันค่อนข้างยุ่ง แต่เป็นปัญหาที่
    ทำแล้วสบายใจดี
  • 12:29 - 12:31
Title:
Partial fraction decomposition to find sum of telescoping series
Description:
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
12:31

Thai subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.