45-45-90 Triangle Side Ratios

W ostatnim filmie pokazaliśmy, że stosunek
boków trójkąta o kątach 30,60,90 to, gdy

najdłuższy bok, przeciwprostokątna, jest równa x,
to najkrótszy bok to x przez 2, a bok pomiędzy,

ten, który jest naprzeciwko kąta 60 stopni
wynosi pierwiastek z 3 razy x przez 2

Inaczej, jeśli najkrótszy bok ma długość 1,
najpierw najkrótszy bok, potem średni

a potem najdłuższy. Więc jeśli bok naprzeciwko
kąta 30 stopni ma długość 1, to bok

naprzeciwko kąta 60 to pierwiastek z 3.
Więc to będzie pierwiastek z 3, zaś

przeciwprostokątna wyniesie 2. W ostatnim
filmie zaczęliśmy z x i powiedzieliśmy, że

bok naprzeciwko 30 wynosi x przez 2, ale jeśli
ten bok jest równy 1, to to będzie 2 razy tyle

czyli 2. To tutaj to bok naprzeciwko kąta 30
ten naprzeciwko kąta 60

a ten to przeciwprostokątna, naprzeciwko 90.

Ogólnie, jeśli widzisz taki trójkąt, to hej!
to jest trójkąt o kątach 30,60,90

A gdy widzisz trójkąt 30,60,90, to hej!
Wiesz jak znaleźć przy pomocy

jednego boku pozostałe, przy tym
stosunku. I tu przykład:

Jak widzisz taki trójkąt, gdzie boki wynoszą
2, 2 razy pierwiastek z 3, 4

To znowu, stosunek 2 do 2√3 jest jak
1 do √3.

Stosunek 2 do 4 jest jak 1 do 2, czyli
to musi być trójkąt 30,60,90.

Chciałbym Was wprowadzić do innego
bardzo ważnego trójkąta pojawiającego się

w geometrii i trygonometrii.
To jest trójkąt o kątach 45,45,90 stopni.

Inaczej, jeśli mamy trójkąt prostokątny
który ponadto jest równoramienny

więc prostokątny trójkąt równoramienny

Oczywiście nie da się mieć trójkąta
prostokątnego i równobocznego

bo w nim wszystkie kąty są równe 60.

Ale możemy mieć kąt prosty, więc też
prostokątny, równoramienny trójkąt

Równoramienny, napiszę to,
to jest prostokątny, równoramienny trójkąt

Co znaczy, że 2 z jego boków są równe

Wiec te dwa boki są równe

A jeśli te dwa boki są równe to już wiemy
że kąty przy podstawie są równe

Jeśli ich miarę oznaczymy jako x,
to wiemy, że x+x+90

równa się 180.
x+x+90 musi się równać 180.

Odejmując 90 od obu stron,
dostajemy x+x = 90

Lub 2x = 90, LUB, gdy podzielimy
obie strony przez 2, to x = 45.

Więc prostokątny równoramienny trójkąt może
też być nazwany, tak się go zwykle nazywa

jako trójkąt o kątach 45,45,90

To co chcę tutaj zrobić, to znaleźć
stosunki boków

trójkąta 45,45,90, tak jak to było
w przypadku trójkąta 30,60,90

Tutaj jest tak naprawdę prościej

ponieważ w trójkącie 45,45,90
gdy nazwiemy przyprostokątną jako x

to druga przyprostokątna też jest x

i możemy użyć twierdzenia Pitagorasa
by znaleźć długość

przeciwprostokątnej

Więc jej długość, nazwijmy ją c

dostaniemy, że x do kwadratu dodać x do
kwadratu, to jest kwadrat przyprostokątnej

Więc gdy je dodamy, to dostaniemy że to
się równa c do kwadratu.

Po prostu twierdzenie Pitagorasa

Dostajemy 2 razy x kwadrat równe c kwadrat

Możemy wziąć pierwiastek dodatni obu stron

Chcę zmienić na żółty, ale nie daje mi...

Ok, c do kwadratu. Weźmy pierwiastek
dodatni obu stron

Dodatni pierwiastek obu stron

Po lewej stronie dostajemy, że dodatni
pierwiastek z 2 to po prostu √2

A pierwiastek dodatni z x kwadrat
to po prostu x

Więc mamy x razy √2 jest równe c

Więc mając prostokątny trójkąt równoramienny
niezależnie od długości

przyprostokątnych, które zawsze w nim
będą takie same

przeciwprostokątna to będzie √2 razy
długość przyprostokątnej

Więc c równa się x razy √2

Na przykład, gdy mamy o taki
trójkąt prostokątny

Może narysuję go inaczej...

Dobrze nie rysować go zawsze tak samo

Więc gdy mamy trójkąt o kątach 90,45,45

i potrzeba znać tylko dwa z tych trzech kątów

by znać pozostały.

Jeśli napiszę, że ten bok ma długość 3

I tak naprawdę nie muszę mówić, że
ten drugi też ma 3

To jest trójkąt równoramienny, więc
te dwa boki będą takie same

I nawet nie musisz stosować tw. Pitagorasa
jeśli już to wiesz

A to dobrze wiedzieć

Że przeciwprostokątna, bok
naprzeciwko kąta 90

to po prostu √2 razy długość jednego
z pozostałych boków

Więc to będzie 3 razy √2

Więc stosunek boków w trójkącie 45,45,90

lub prostokątnym, równoramiennym trójkącie

Stosunek wynosi: jak jeden z boków ma długość 1

to ten drugi bok ma tyle samo

a przeciwprostokątna to po prostu √2

1 do 1 do √2

To jest trójkąt 45,45,90, napiszę to

A to stosunek. A dla powtórki
dla trójkąta 30,60,90

stosunek boków to 1 do √3 do 2

Zastosujemy to przy okazji wielu różnych problemów