Writing Riemann sum limit as definite integral

[Giảng viên] Vậy,
ta có tổng Riemann.

Chúng ta sẽ vượt qua giới hạn
khi N tiến đến vô cùng

và mục tiêu của video này

là để xem liệu chúng ta có thể viết lại cái này không

như một tích phân xác định.

Tôi khuyến khích bạn tạm dừng video

và xem nếu bạn có thể làm việc
thông qua nó một mình.

Vì vậy, chúng ta hãy nhắc nhở chính mình

làm thế nào một tích phân xác định có thể
liên quan đến một tổng Riemann.

Vì vậy, nếu tôi có xác định
tích phân từ A đến B

của F của X, F của X, DX,

chúng ta đã thấy trong các video khác

đây sẽ là giới hạn

khi N tiến đến vô cùng
của tổng, vốn sigma,

đi từ tôi bằng một đến N

và vì vậy, về cơ bản
chúng ta sẽ tổng hợp các khu vực

của một loạt các hình chữ nhật

trong đó chiều rộng của mỗi
của các hình chữ nhật đó

chúng ta có thể viết dưới dạng delta X,

vì vậy chiều rộng của bạn sẽ là delta X

của mỗi hình chữ nhật đó

và sau đó là chiều cao của bạn

sẽ là giá trị của hàm

đánh giá một số nơi trong delta X đó.

Nếu chúng ta đang làm một phép tính tổng Riemann đúng

chúng tôi sẽ làm đúng
cuối hình chữ nhật đó

hoặc của khoảng con đó

và vì vậy, chúng ta sẽ bắt đầu
tại giới hạn dưới của chúng tôi A

và chúng tôi sẽ thêm bao nhiêu delta
Xs như chỉ mục của chúng tôi chỉ định.

Vì vậy, nếu tôi bằng một,

chúng tôi thêm một delta X,

vì vậy chúng tôi sẽ ở bên phải
của hình chữ nhật đầu tiên.

Nếu tôi bằng hai, chúng ta thêm hai delta X.

Vì vậy, đây sẽ là delta X

nhân với chỉ số của chúng tôi.

Vì vậy, đây là hình thức chung

mà chúng ta đã thấy trước đây

và vì vậy, một khả năng, bạn
thậm chí có thể làm một chút

khớp mẫu ngay tại đây,

chức năng của chúng tôi trông giống như
chức năng nhật ký tự nhiên,

để trông giống như chức năng F của X của chúng ta,

đó là chức năng nhật ký tự nhiên,

để tôi có thể viết rằng,

nên F của X giống như log tự nhiên của X.

Chúng ta còn thấy gì nữa?

Chà, A, có vẻ như là hai.

A bằng hai.

Đồng bằng X của chúng ta sẽ là gì?

Vâng, bạn có thể thấy điều này ngay tại đây,

thứ mà chúng ta đang nhân lên

mà chỉ được chia cho N

và nó không nhân với chữ I,

cái này trông giống như delta X của chúng ta

và cái này ở ngay đây
giống như delta X nhân I.

Vì vậy, có vẻ như đồng bằng của chúng tôi
X bằng năm trên N.

Vì vậy, những gì chúng ta có thể nói cho đến nay?

Chà, chúng ta có thể nói rằng,
được rồi, thứ này ở trên này,

lên điều ban đầu
sẽ bằng

tích phân xác định,

chúng tôi biết giới hạn dưới của chúng tôi đang đi từ hai

chúng tôi chưa hình dung ra
ra khỏi giới hạn trên của chúng tôi chưa,

chúng ta chưa tìm ra B

nhưng hàm chúng ta là hàm tự nhiên lô-ga-rít

của X và sau đó sẽ viết DX ở đây

Vì thế,để hoàn thành phần viết

tích phân xác định này

Tôi cần để có thể viết giới hạn trên

và cách tính cận trên

là bằng cách nhìn vào delta X của chúng ta

bởi vì cách mà chúng ta
sẽ tìm ra một delta X

cho tổng Riemann này ở đây,

chúng ta sẽ nói rằng delta X
bằng với sự khác biệt

giữa ranh giới của chúng tôi bị chia cắt
bằng bao nhiêu phần

chúng tôi muốn chia nó thành, chia cho N.

Vì vậy, nó bằng B trừ A,

B trừ A trên N, trên N

và vì vậy, bạn có thể khớp mẫu ở đây.

Nếu đây là delta X là
bằng B trừ A trên N.

Hãy để tôi viết điều này xuống.

Vì vậy, cái này sẽ bằng với B,

B trừ A của chúng ta là hai,

tất cả điều đó trên N,

vậy B trừ hai

bằng năm

mà sẽ làm cho B bằng bảy.

B bằng bảy.

Vì vậy, có bạn có nó.

Chúng tôi có bản gốc của chúng tôi
giới hạn, giới hạn Riemann của chúng tô

hoặc giới hạn tổng Riemann của chúng ta

được viết lại dưới dạng tích phân xác định.

Và một lần nữa, tôi muốn nhấn mạnh

tại sao điều này có ý nghĩa.

Nếu chúng ta muốn vẽ cái này

nó sẽ trông giống như thế này,

Tôi sẽ thử vẽ tay
chức năng nhật ký tự nhiên,

nó trông giống như thế này

và điều này ngay tại đây sẽ là một

và vì vậy, giả sử đây là hai

và cứ thế đi từ hai đến bảy,

điều này không chính xác

và như vậy, tích phân xác định của chúng ta
quan tâm đến khu vực

dưới đường cong từ hai đến bảy

và như vậy, tổng Riemann này bạn có thể xem

như một xấp xỉ khi N
không tiến đến vô cùng

nhưng những gì bạn đang nói là hãy nhìn xem,

khi tôi bằng một,

người đầu tiên của bạn sẽ
có chiều rộng năm trên N,

vì vậy điều này về cơ bản là
nói lên sự khác biệt của chúng tôi

từ hai đến bảy,

chúng ta đang đi khoảng cách đó năm,

chia nó thành N hình chữ nhật,

và vì vậy, cái đầu tiên này là
sẽ có chiều rộng là năm

trên N và sau đó là gì
chiều cao sẽ là?

Chà, đó là một tổng Riemann đúng,

vì vậy chúng tôi đang sử dụng giá trị của
chức năng ngay tại đây

viết hai nhân năm tại N

Vì thế ,giá trị ngay tại đây

Nó là lô-ga-rít tự nhiên

là lô-ga-rít tự nhiên của hai nhân 5 qua N

và vì đây là hình chữ nhật đầu tiên

lần một, lần một.

Bây giờ chúng ta có thể tiếp tục đi.

Cái này ngay đây

chiều rộng là như nhau, năm trên N

nhưng chiều cao là bao nhiêu?

Chà, chiều cao ở đây,
chiều cao này ngay tại đây

nó sẽ là lô-ga-rít tự nhiên

của hai cộng năm trên
N lần hai, lần hai.

Điều này là cho tôi bằng hai.

Đây là tôi bằng một.

Và vì vậy, hy vọng bạn là
thấy rằng điều này có ý nghĩa.

Diện tích của hình chữ nhật đầu tiên này

sẽ là lô-ga-rít tự nhiên của hai

cộng năm trên N lần một

nhân năm lần trên N

và cái thứ hai ở đây,

lô-ga-rít tự nhiên của hai cộng
năm trên N nhân hai

nhân năm lần trên N

và vì vậy, đây là phép tính tổng

diện tích của các hình chữ nhật này

nhưng sau đó nó đang lấy
giới hạn khi N tiến đến vô cùng

vì vậy chúng tôi nhận được xấp xỉ tốt hơn và tốt hơn

đi tất cả các con đường đến khu vực chính xác.