将黎曼和的极限改写为定积分形式

已知一个无限多矩形的黎曼和的极限, 我们可以分析该表达式, 写出相应的定积分。

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[讲师] 我们已知一个黎曼和，

求在n趋向于无穷大时它的极限。

这个视频的目标是

看看我们能否将它改写

为一个定积分。

在这里鼓励你暂停这个视频，

尝试看看你能不能独立解决这个问题。

现在让我们回忆一下，

定积分是如何与黎曼积分关联起来的。

那么如果我有从a到b，

对f(x)dx的定积分。

我们在其它的视频中看过了，

这就等于

当n趋向于无穷时的极限，求和符号，

从i等于1，到n，

本质上来说我们要求

多个矩形的面积的和，

其中每一个矩形的宽度

我们可以写作Δx。

所以每个矩形宽度等于Δx，

然后高度

就等于这个函数

在Δx某个部分的值。

如果我们求右黎曼和，

我们就可以取矩形的右边，

或者说这个区间的最右边的点。

所以，我们从下限a开始，

然后我们在这之上加相应个数的Δx。

如果i等于1，

我们就加上一个Δx。

也就是在第一个矩形的右边。

如果i等于2，我们就加上两个Δx。

所以这就是Δx

乘以i。

这就是我们的公式，

以前也见过的，

所以一种可能性是，

在这里可以对号入座一下，

我们的函数看起来像是自然对数函数，

这里就是我们的f(x)，

自然对数函数，

我可以将它写成

f(x)看起来就是ln(x)。

我们还能看到什么？

a，看上去是2。

a等于2。

我们的Δx等于什么？

这里你可以看到，

我们乘的这个项

是被n除的，

并且不是被i乘的，

这个看起来就是我们的Δx。

而这一项看起来是Δx乘以i。

所以我们的Δx就等于5/n。

所以我们已知的都有什么呢？

我们可以说，这个式子，

原式，就等于

定积分，

从下限2，

到我们还不知道的一个上限，

我们还不知道b是什么，

但是我们的函数是

ln(x)，然后写一个dx。

所以想要完整的写出

这个定积分，

我需要能写出它的上限。

找出这个上限的方法需要

我们来看一下Δx。

因为我们找到这个黎曼和

的Δx的方法是

我们可以说Δx等于

上限和下限的差，除以我们要将其分成

多少个部分，也就是除以n。

也就是说，它等于b减a，

b减a，除以n。

所以，你就可以模式匹配一下，

如果Δx等于b减a除以n...

让我把它写下来。

这就等于b，

减去我们的a，也就是2，

整体除以n。

所以b减2

就等于5。

所以b就等于7。

b等于7。

这就行了。

我们就把黎曼和的极限，

或者说是我们的黎曼和的极限，

改写为了一个定积分。

我想再强调一下

为什么这是合理的。

如果我们想把它画出来，

它看起来差不多是这样的。

让我尝试手绘自然对数函数的图象，

看起来差不多应该是这样的。

这个点是1，

这里是2，

我们要看从2，到7，

这个不完全正确。

那么，我们的定积分，是找

在2到7之间，曲线下的面积。

所以这个黎曼和

在n不趋向于无穷的时候可以看作是求它的近似值。

在这里，

当i等于1时，

你的第一个矩形宽度是5/n，

这也就是说，

我们将2和7之间的差，

也就是5，

将它划分为n个矩形。

第一个矩形，宽度为5/n，

它的高度是多少？

这是一个右黎曼和，

所以我们要用最右点的函数值，

在2加5/n的这个点。

这里的值，

就是

ln(2+5/n)。

因为这是第一个四边形，

所以这里要乘以1。

接下来，

这个矩形，

宽度和上一个一样，5/n，

高度是什么呢？

这里的高度

就是

ln(2+5/n · 2)。

这是i等于2时的高度。

这里是i等于1。

希望这样你就可以看出它是合理的了。

第一个矩形的面积

等于

ln(2+5/n · 1)

乘以5/n。

然后第二个矩形的面积

等于 ln(2+5/n · 2)

乘以5/n。

所以原始是在计算

这些矩形的面积的和。

但是它是在找当n趋向于无穷大时的极限，

这样我们可以找到越来越准确的近似值，

一直到准确的面积。