Teste da segunda derivada | Matematica | Khan Academy

RKA3JV - Vamos examinar, neste vídeo,
o teste da segunda derivada.

Quando derivamos uma função
e igualamos a zero,

ela pode estar em um ponto
de máximo neste ponto,

ela pode estar em um ponto
de mínimo neste ponto

ou ela pode ser inconclusiva.

Vamos analisar através de um gráfico.

Aqui nós temos o eixo das ordenadas "y".

Aqui nós temos o eixo das abcissas "x".

E vamos pegar um ponto qualquer,

um ponto "C" qualquer.

Vamos traçar uma curva
que tenha o ponto máximo

neste ponto que eu estou chamando de "C"

e outra curva que tenha o ponto mínimo

neste ponto, que estou chamando de "C".

Portanto, vamos colocar este ponto aqui

exatamente neste local

e este ponto aqui neste local.

Sabendo que neste ponto
ele tem um ponto de máximo,

a derivada no ponto "C" da função,

vai ser zero.

Ela vai ter uma inclinação zero,

paralelo ao eixo das abcissas.

E como é que nós sabemos
se o ponto é de máximo ou de mínimo?

Em primeiro lugar, essa função
é uma função contínua,

já que ela tem uma derivada neste ponto.

Ela está crescendo e depois decrescendo.

Uma maneira de nós verificarmos sem
uma matemática muito rebuscada

é tirarmos a segunda derivada
da função no ponto "C".

E verificamos se ela é maior,
menor ou igual a zero.

Se ela for menor do que zero,

significa que a concavidade
é voltada para baixo.

Se a concavidade é voltada para baixo,

este ponto é um ponto de máximo.

Neste outro ponto aqui

verificamos que a derivada no ponto "C"

também vai ser igual a zero,

ela vai ter uma inclinação
paralela ao eixo das abcissas,

tangente à curva.

Ela está decrescendo

e depois começa a crescer.

Aqui, é um ponto de mínimo.

Como é que podemos saber isso?

Pela segunda derivada.

Se a segunda derivada da função
no ponto "C" for maior do que zero,

significa que esta concavidade

é voltada para cima

e este ponto é um ponto de mínimo.

Se a segunda derivada for igual a zero,

ela é inconclusiva,

significa que não podemos saber
se é um ponto de máximo,

de mínimo ou até se ele não existe.

Vamos colocar um exemplo para verificar

o entendimento deste conceito.

Vamos supor que uma determinada função "h"

no ponto 8 vale a 5.

Ou seja, ela tem as coordenadas
"x = 8" e "y = 5".

Vamos supor que a primeira derivada
dela no ponto 8 seja igual a zero,

e a segunda derivada no ponto 8
seja igual -4.

O que queremos saber é
se este ponto é de máximo,

este ponto é de mínimo

ou ele é inconclusivo.

Verificamos que temos
a primeira derivada igual a zero.

Portanto, ela tem a inclinação zero.

Ou seja, se ela tiver um ponto de máximo

ou de mínimo será neste ponto,

e ela será uma função contínua
neste ponto.

Mas, pelo último dado, verificamos

que a segunda derivada no ponto 8
é menor do que zero.

Se ela é menor do que zero,
nós estamos neste caso.

Ou seja, a concavidade é para baixo

e este valor é de máximo.