Teste da segunda derivada | Matematica | Khan Academy

RKA 3 - Vamos examinar neste vídeo o teste da segunda derivada.

Quando derivamos uma função e

igualamos a zero,

ela pode estar em um ponto de máximo neste ponto,

ela pode estar em um ponto de mínimo neste ponto

ou ela pode ser inconclusiva.

Vamos analisar através de um gráfico.

Aqui nós temos o eixo 10 ordenadas "y".

Aqui nós temos o eixo 10 abcissas 'x".

E vamos pegar um ponto qualquer,

um ponto "C" qualquer.

Vamos traçar uma curva que tenha o ponto

máximo neste ponto que eu estou chamando de "C"

e outra curva que tenha um ponto

mínimo neste ponto que estou chamando de "C".

Portanto, vamos colocar este ponto

aqui exatamente neste local e

este ponto aqui neste local.
Sabendo que neste

ponto ele tem um ponto de máximo,

a derivada no ponto "C" da função,

vai ser zero.
Ela vai ter uma inclinação zero,

paralelo ao eixo das abcissas.

E como é que nós sabemos se o ponto é de máximo ou de mínimo?

Em primeiro lugar, essa função é

uma função contínua,
já que ela tem uma

derivada neste ponto.
Ela está crescendo e

depois decrescendo.
Uma maneira de nós

verificarmos sem uma matemática muito rebuscada

é tirarmos a segunda derivada

da função no ponto "C".
E verificamos se

ela é maior, menor ou igual a zero.

Se ela for menor do que zero,

significa que a concavidade é voltada para baixo.

Se a concavidade é voltada para baixo,

este ponto é um ponto de máximo.

Neste outro ponto aqui verificamos que a

derivada no ponto "C" também vai ser

igual a zero, ela vai ter uma inclinação

paralela ao eixo das abcissas,

tangente à curva.
Ela está decrescendo e

depois começa a crescer.

Aqui, é um ponto de mínimo.

Como é que podemos saber isso?

Pela segunda derivada.

Se a segunda derivada da função no ponto "C" for maior

do que zero, significa que esta

concavidade é voltada para cima e este

ponto é um ponto de mínimo.

Se a segunda derivada for igual a zero ela é

inconclusiva, significa que não podemos

saber se é um ponto de máximo, de mínimo

ou até se ele não existe.

Vamos colocar um exemplo para verificar

o entendimento deste conceito.

Vamos supor que uma determinada função "h"

no ponto 8 vale a 5.
Ou seja, ela tem as

coordenadas x = 8 e y = 5.

Vamos supor que a primeira derivada

dela no ponto 8 seja igual a zero,

e a segunda derivada no ponto 8 seja igual -4.

O que queremos saber é se este

ponto é de máximo, este ponto é de mínimo

ou ele é inconclusivo.

Verificamos que temos a primeira

derivada igual a zero.
Portanto, ela tem a inclinação zero.

Ou seja, se ela tiver um

ponto de máximo ou de mínimo será neste ponto e

e ela será a função contínua neste ponto.

Mas, pelo último dado, verificamos que a

segunda derivada no ponto 8 é

menor do que zero.

Se ela é menor do que zero, nós estamos neste caso.

Ou seja, a concavidade é para

baixo e este valor é de máximo.