Writing Riemann sum limit as definite integral

Burada Riman cəmimiz var.

Limiti n sonsuzluğa yaxınlaşırmış kimi
götürəcəyik

və bu videoda

bu ifadəni müəyyən inteqral şəklində

yenidən yazmağı sınayacağıq.

Videonu dayandırıb

misalı özünüz həll etməyə
çalışa bilərsiniz.

Gəlin

Riman cəminin müəyyən inteqralla
necə əlaqəli olduğunu xatırlayaq.

Əgər a-dan b-yə

f(x) dx-in müəyyən inteqralı varsa,

başqa videolardan da bildiyimiz kimi,

o,

n sonsuzluğa yaxınlaşdıqda

i bərabərdir 1-dən n-ə cəmin limitinə
bərabər olacaq.

Əslində,

biz enini

delta x şəklində yazacağımız düzbucaqlıların

cəmini tapacağıq.

Yəni enimiz

delta x olacaq və

hündürlüyümüz isə

delta x-də hesablanan

funksiyamızın qiyməti olacaq.

Əgər düzgün Riman cəmi ediriksə,

---

---

yəni biz aşağı sərhəd olaraq
a-dan başlayacağıq

və indeksimizin müəyyən etdiyi qədər
delta x-ləri əlavə edəcəyik.

Əgər i 1-ə bərabərdirsə,

biz bir delta x əlavə edəcəyik,

---

Əgər i 2 olsa, biz 2 delta x əlavə edəcəkdik.

Bu, delta x vur

indeksə bərabər olacaq.

Bu, daha əvvəl də gördüyümüz

ümumi formadır.

Burada nümunələri

uyğunlaşdıra bilərik.

Funksiyamız natural loqarifma
kimi görünür?

Yəni bizim funksiyamız

natural loqarifmadır.

Deməli, biz

f(x) bərabərdir lnx yaza bilərik.

Başqa nə görürük?

Belə görünür ki, a 2-yə bərabərdir.

a 2-yə bərabərdir.

Delta x nəyə bərabər olacaq?

Buradan da görə bildiyimiz kimi,

bu vuruğumuz

hansı ki, n-ə bölünüb

və i-yə vurulmayıb

delta x-ə bənzəyir.

Buradakı isə delta x vur i-dir.

Yəni delta x-miz
5 böl n-ə bərabərdir.

Bütün bunlar haqqında nə deyə bilərik?

Buradakı ifadə

bir müəyyən

inteqrala bərabər olacaq.

Biz aşağı sərhədi müəyyən etmişik,

ancaq üst sərhəd hələ bəlli deyil,

b-ni müəyyən etməmişik.

Funksiyamız isə natural loqarifmadır

və buraya həm də dx yazacağıq.

Müəyyən inteqralı

yazıb bitirmək üçün

üst sərhədi bilməliyik

və onu müəyyən edə bilmək üçün isə

delta x-ə nəzər yetirəcəyik.

Ona görə ki, delta x-i

buradakı Riman cəmindən əldə edirik.

Belə ki, delta x

sərhədlərimizin fərqinin

n-ə bölünməsinə bərabərdir.

Bu,

b çıx a böl n-ə bərabərdir

və bunu buradakı nümunəyə
uyğunlaşdıra bilərik.

Buradakı delta x, b çıx a
böl n-ə bərabər olur.

Gəlin yazaq.

Bu,

b çıx 2

böl n-ə bərabər olacaq,

yəni b çıx 2

5-ə bərabərdir.

B isə 7-yə bərabərdir.

B 7-yə bərabərdir.

Tamamladıq.

Burada orijinal Riman cəmimiz,

daha doğrusu müəyyən inteqral şəklində

yenidən yazılan Riman cəmimizin limiti var.

Təkrardan bunun niyə

məna kəsb etdiyini vurğulayaq.

Əgər bunu çəkmək istəsək,

o, təxminən belə görünəcək.

Natural loqarifma funksiyası
çəkməyə çalışaq.

O, belə bir şeyə bənzəyir və

burada 1 yazacağıq,

deyək ki, bura 2-dir.

Bu, 2-dən 7-yə

uzanır.

Yəni bizim müəyyən inteqralımız
bu əyrinin altında

2-dən 7-yə qədər olan sahədən ibarətdir.

Burada Riman cəminə

n sonsuzluğa yaxınlaşmır kimi nəzər yetirə bilərsiniz,

ancaq biz deyirik ki,

baxın, i 1-ə bərabər olduqda,

birincisi en böl n-ə
bərabər olacaq.

Əslində bu bizim

2 və 7 arasındakı fərqimizi deyir,

biz 5-i götürürük

və onu n düzbucaqlıya bölürük.

Birincinin eni 5 böl

n olacaq, hündürlük nəyə
bərabər olacaq?

Bu, Riman cəmidir,

yəni biz funksiyanın
buradakı qiymətini götürəcəyik.

2 üstəgəl 5 böl n yazacağıq.

Burada qiymət

natural loqarifmadır,

2 üstəgəl 5 böl n-in natural loqarifması

və birinci düzbucaqlı olduğundan

vur 1 yazırıq.

Belə davam etdirəcəyik.

Buradakı üçün də

en eynidir,

bəs hündürlük?

Hündürlük burada

yenə

2 üstəgəl 5 böl n vur 2-nin natural
loqarifması olacaq.

Bu, i 2-yə bərabər olduğundandır.

Burada isə i 1-dir.

Ümid edirəm ki, bütün bunları
anlayırsınız.

Birinci düzbucaqlının sahəsi

2 üstəgəl

5 böl n-in natural loqarifması vur 1

vur 5 böl n.

İkincisi isə

2 üstəgəl 5 böl n vur 2-in natural
loqarifması

vur 5 böl n-dir.

Yəni bu,

düzbucaqlıların sahələrinin cəmini hesablayır,

ancaq burada n-i sonsuzluğa yaxınlaşır
şəklində götürür,

yəni biz dəqiq sahənin tapılmasında

daha yaxşı hesablamalar ala bilirik.